已知函數(shù)f（x）對任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且當x＞0時，f（x）＞1．求證：函數(shù)F（x）=f（x）-1為奇函數(shù)．
考點：抽象函數(shù)及其應用
專題：函數(shù)的性質及應用
分析：由題意令a=b=0，代入f（a+b）=f（a）+f（b）-1，求出f（0）的值，令a=x，b=-x，求得f（-x）=-f（x）+2，再根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可．
解答： 證明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
令a=b=0，
則f（0+0）=f（0）+f（0）-1，
∴f（0）=1，
令a=x，b=-x，
則f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，
∴f（-x）=-f（x）+2，
∵F（x）=f（x）-1
∴F（-x）=f（-x）-1=-f（x）-1=-f（x）+2=-f（x）+1=-[f（x）-1]=-F（x），
∴函數(shù)F（x）=f（x）-1為奇函數(shù)．
點評：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性的證明以及求值，主要利用賦值法，即根據(jù)結論給變量適當?shù)闹�，代入恒成立的方程化簡即可�?/div>
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某發(fā)射裝置上有一個特殊的按鍵，在發(fā)射裝置的屏幕上顯示正整數(shù)n時按下這個鍵，會等可能的將其替換為0～n-1中的任意一個數(shù)，反復按這個鍵使得最終顯示0，我們把這一操作稱為“還原”操作．
（Ⅰ）設初始值為15，求在“還原”操作中出現(xiàn)9的概率；
（Ⅱ）當初始值為4時，進行“還原”操作，記操作次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列與數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義域在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1），f（4）的值． 
（2）如果f（x）-f（x-3）＜2，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2+2x，x＜0
lnx，x＞0
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當x≥1時，證明：曲線f（x）與g（x）=x-1僅有一個公共點；
（Ⅲ）設A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2＜0）為曲線f（x）上的兩點，且曲線f（x）在點A，B處的切線互相垂直，求x2-x1的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四面體ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點．
（1）求證：AB⊥平面CDE；
（2）設G為△ADC的重心，F(xiàn)是線段AE上一點，且AF=2FE．求證：FG∥平面CDE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某同學將一塊底邊長為5的等腰直角三角板按如圖所示的方式放置在平面直角坐標系上，其中∠OMN=
π
2
，函數(shù)f（x）=Asin（ωx），（A＞0，ω＞0），
（1）若函數(shù)f（x）在同一周期內的圖象過點O，M，N，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若將該三角板繞原點按逆時針方向旋轉角α(0＜α＜
π
2
)時；頂點M′，N′恰好同時落在曲線y=
k
x
（x≠0）上，求實數(shù)k的值；
（3）若當x∈[0，π]時，函數(shù)f（x）的圖象恰好都落在△OMN內（允許落在△OMN的邊界上），求當么取最大值時，函數(shù)g（x）=cos（ωx+A）在區(qū)間[0，π]上的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log 
1
2
[
2
sin（x-
π
4
）]．
（1）求它的定義域和值域；
（2）求它的單調區(qū)間；
（3）判斷它的奇偶性；
（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的最小正周期．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的通項公式為an=pn+q（n∈N*，p＞0）．數(shù)列{bn}定義如下：對于正整數(shù)m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=
1
2
，q=-
1
3
，求b3；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求數(shù)列{bn}的前2m項和公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點．
（Ⅰ）設正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長等于2，求三棱錐C-BED1的體積；
（Ⅱ）求證：平面EB1D⊥平面B1CD．

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同步練習冊答案