Question

已知函數(shù)f（x）為定義域在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1），f（4）的值． 
（2）如果f（x）-f（x-3）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1，可求出f（1），令x=y=2，結(jié)合條件，可求出f（4）；
（2）將2換成f（4），結(jié)合條件得到f（x）＜f（4x-12），再由單調(diào)性，即可求出x的取值范圍，注意定義域．

解答： 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），∴令x=y=1，則f（1）=2f（1），即f（1）=0，
令x=y=2，則f（4）=2f（2）=2．
（2）f（x）-f（x-3）＜2即f（x）＜f（x-3）+2，
即f（x）＜f（x-3）+f（4），即f（x）＜f（4x-12），
∵函數(shù)f（x）為定義域在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴

x＞0 x-3＞0 x＜4x-12

即

x＞0 x＞3 x＞4

∴x＞4，
故x的取值范圍是（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)值的常用方法：賦值法，屬于基礎(chǔ)題．