Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點．
（Ⅰ）設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長等于2，求三棱錐C-BED₁的體積；
（Ⅱ）求證：平面EB₁D⊥平面B₁CD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題意得點B₁到平面CDE的距離等于2，△CDE的面積等于2，由此利用等積法能求出三棱錐C-BED₁的體積．
（Ⅱ）設(shè)B₁D的中點為M，連結(jié)ME，MC，由已知條件推導(dǎo)出CD⊥CB₁，ME⊥MC，從而得到ME⊥平面B₁CD，由此能證明平面EB₁D⊥平面B₁CD．

解答： （Ⅰ）解：由題意得點B₁到平面CDE的距離等于2，△CDE的面積等于2，
∴三棱錐B₁-CDE的體積等于

4

3

，
∵VC-B1DE=VB1-CDE，
∴VC-B1DE=

4

3

，
∴三棱錐C-BED₁的體積為

4

3

．
（Ⅱ）證明：設(shè)B₁D的中點為M，連結(jié)ME，MC，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2a，則ED=

5

a，B1E=

5

a，
∴ED=B₁E，∴ME⊥B₁D，
ME=

DE2- B1D2 4

=

5a2- 12a2 4

=

2

a，
由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，得CD⊥平面BCC₁B₁，
CB₁?平面BCC₁B₁，∴CD⊥CB₁，
∴MC=

1

2

B1D=

3

a，
∵ME²+MC²=5a²=EC²，∴ME⊥MC，
又∵B₁D?平面B₁CD，MC?平面B₁CD，B₁D∩MC=M，
∴ME⊥平面B₁CD．
∵ME?平面EB₁D，
∴平面EB₁D⊥平面B₁CD．

點評：本題考查棱錐的體積的求法，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．