Question

定義在（0，

π

2

）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f′（x）＞f（x）•tanx成立．則（　　）

• A、

  3

  f（

  π

  6

  ）＜f（

  π

  3

  ）
• B、

  3

  f（1）＜2cos1•f（

  π

  6

  ）
• C、

  6

  f（

  π

  6

  ）＞2f（

  π

  4

  ）
• D、

  2

  f（

  π

  4

  ）＞f（

  π

  3

  ）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）cosx，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x∈（0，

π

2

），cosx＞0，
則不等式f′（x）＞f（x）•tanx等價為f′（x）＞f（x）•

sinx

cosx

，
即cosxf′（x）-sinxf（x）＞0，
設(shè)g（x）=f（x）cosx，
則g′（x）=cosxf′（x）-sinxf（x）＞0，
即函數(shù)g（x）在（0，

π

2

）單調(diào)遞增，
則g（

π

6

）＜g（

π

3

），g（1）＞g（

π

6

），g（

π

6

）＜g（

π

4

），g（

π

4

）＜g（

π

3

），
即

3

2

f（

π

6

）＜

1

2

f（

π

3

），cos1f（1）＞

3

2

f（

π

6

），

3

2

f（

π

6

）＜

2

2

f（

π

4

），

2

2

f（

π

4

）＜

1

2

f（

π

3

），
則

3

f（

π

6

）＜f（

π

3

），故A正確．
2cosf（1）＞

3

f（

π

6

），故B錯誤．

6

f（

π

6

）＜2f（

π

4

），故C錯誤．

2

f（

π

4

）＜f（

π

3

），故D錯誤．
故選A．

點評：本題主要考查函數(shù)的大小比較，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．