Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+1=2a_n，則使不等式a₁²+a₂²+…+a_n²＜5×2ⁿ⁺¹成立的n的最大值為（　�。�

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導出an=2n-1，an2=4^n-1，所以a₁²+a₂²+…+a_n²=

1×(1-4n)

1-4

=

1

3

(4n-1)，由此得到2ⁿ（2ⁿ-30）＜1，從而解得n的最大值為4．

解答： 解：當n=1時，2a₁=₁+1，得a₁=1，
當n≥2時，2（a_n-a_n-1）=S_n-S_n-1=a_n，
∴

an

an-1

=2，∴an=2n-1，
又∵a₁=1滿足上式，
∴an=2n-1，an2=4^n-1，
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=

1×(1-4n)

1-4

=

1

3

(4n-1)，
∵a₁²+a₂²+…+a_n²＜5×2ⁿ⁺¹，∴

1

3

(4n-1)＜5×2n+1，
∴2ⁿ（2ⁿ-30）＜1，
解得n的最大值為4．
故選：B．

點評：本題考查實數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．