Question

5．一個(gè)三角形的外接圓半徑R=$\frac{a\sqrt{bc}}{b+c}$，則該三角形的最大內(nèi)角為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理得2R=$\frac{2a\sqrt{bc}}{b+c}$=$\frac{a}{sinA}$，從而sinA=$\frac{b+c}{2\sqrt{bc}}$，由此能求出該三角形最大內(nèi)角的度數(shù)．

解答 解：∵一個(gè)三角形的外接圓半徑R=$\frac{a\sqrt{bc}}{b+c}$，
∴2R=$\frac{2a\sqrt{bc}}{b+c}$=$\frac{a}{sinA}$，
∴sinA=$\frac{b+c}{2\sqrt{bc}}$，
∵b+c$≥2\sqrt{bc}$，
∴sinA≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取“=”．
∵a＞0，b＞0，∴sinA＞0，
∴0＜A≤$\frac{π}{2}$．
∴該三角形最大內(nèi)角的度數(shù)是$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形最大內(nèi)角度數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理和均值定理的合理運(yùn)用．