Question

若多項(xiàng)式（1+x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m，滿足：a₁+2a₂+…+ma_m=192，則不等式

1

a3

+

2

a3

+…+

n

a3

≥

3

4

成立時(shí)，正整數(shù)n的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)x=1求出的值，然后求出a₃，利用數(shù)列求和結(jié)合不等式求出n的值．

解答： 解：設(shè)y=（1+x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m，
y′=m（1+x）^m-1=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+ma_mx^m-1，
令x=1，得2^m-1m=a₁+2a₂+3a₃+…+ma_m=192=2⁵×6．
解得m=6．∴a₃=C₆³=20．

1

20

+

2

20

+…+

n

20

=

n(n+1)

40

，

n(n+1)

40

≥

3

4

解得n＞4．
正整數(shù)n的最小值為：5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．