Question

已知向量

m

=（2cos²x，

3

），

n

=（1，sin2x）函數f（x）=

m

•

n

（1）求函數f（x）的對稱中心； 
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=3，c=1，且a＞b＞c，求

3

a-b的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,正弦定理

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用數量積運算、兩角和差的正弦公式、對稱中心的性質即可得出；
（2）利用三角函數的單調性、正弦定理、兩角和差的正弦公式即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=(2cos2x，

3

)•（1，sin2x）
=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+1+

3

sin2x
=2sin(2x+

π

6

)+1．
令2x+

π

6

=kπ（k∈Z），解得x=

kπ

2

-

π

12

(k∈Z)，
∴函數f（x）的對稱中心為(

kπ

2

-

π

12

，1)（k∈Z）．
（2）∵f（C）=2sin(2C+

π

6

)+1=3，
∴sin(2C+

π

6

)=1，
∵C是銳角，∴2C+

π

6

=

π

2

，解得C=

π

6

．
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，a=2sinA，b=2sinB，
∴

3

a-b=a=2(

3

sinA-sinB)=2[

3

sinA-sin(

5π

6

-A)]=2sin(A-

π

6

)，
∵A＞B＞C=

π

6

，
∴A∈(

5π

12

，

2π

3

)，
∴(A-

π

6

)∈(

π

4

，

π

2

)，
∴

3

a-b∈(

2

，2)．

點評：本題考查了數量積運算、兩角和差的正弦公式、對稱中心的性質、三角函數的單調性、正弦定理等基礎知識與基本技能方法，屬于基礎題．