Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{-{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在[t，t+4]（t∈R）上的最大值為g（t），求g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）分別討論區(qū)間[t，t+4]與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合一元二次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當x=0時，f（0）=0，
若x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=x²+2x=-（-x²-2x）=-f（x），
若x＞0，則-x＜0，
則f（-x）=-x²+2x=-（x²-2x）=-f（x），
綜上f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)性；
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
由圖象知當x=-1時，函數(shù)f（x）=1，當x=1時，f（x）=-1，
當x≥0時，由f（x）=x²-2x=1，得x²-2x-1=0，此時x=1+$\sqrt{2}$，此時1+$\sqrt{2}$-（-1）=2+$\sqrt{2}$＜4，
當x＜0時，由f（x）=-x²-2x=-1，得x²+2x-1=0，此時x=-1-$\sqrt{2}$，此時1-（-1-$\sqrt{2}$）=2+$\sqrt{2}$＜4，
而區(qū)間[t，t+4]長度為4，區(qū)間[t，t+4]的中點為x=t+2，
①若t≤-1，且t+4≥1+$\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}-$3≤t≤-1時，此時函數(shù)在[t，t+4]上的最大值為g（t）=f（t+4）=（t+4）²-2（t+4）=t²+6t+8，
②若-1≤t+4≤1+$\sqrt{2}$，即-5≤t≤$\sqrt{2}$-3，時，此時函數(shù)在[t，t+4]上的最大值為g（t）=f（-1）=1，
③若t+4≤-1，即t≤-5時，此時函數(shù)在[t，t+4]上為增函數(shù)，此時的最大值為g（t）=f（t+4）=（t+4）²-2（t+4）=t²+6t+8．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．