Question

5．已知函數(shù)$f（x）={log_a}\frac{x-1}{x+1}$（其中a＞0且a≠1）．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）已知關(guān)于x的方程${log_a}\frac{m}{（x+1）（7-x）}=f（x）$在區(qū)間[2，6]上有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求定義域可知關(guān)于原點對稱，計算可得f（-x）=-f（x），可得奇函數(shù)；
（2）由題意問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)m=（x-1）（7-x）在x∈[2，6]上的值域，由二次函數(shù)區(qū)間的值域可得．

解答 解：（1）由對數(shù)有意義可得$\frac{x-1}{x+1}$＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴$f（x）={log_a}\frac{x-1}{x+1}$的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
關(guān)于原點對稱，又$f（-x）={log_a}\frac{-x-1}{-x+1}={log_a}\frac{x+1}{x-1}$，
∴f（-x）=-f（x），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{（x+1）（7-x）}＞0\\ \frac{x-1}{x+1}＞0\\ \frac{m}{（x+1）（7-x）}=\frac{x-1}{x+1}\end{array}\right.$，
問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)m=（x-1）（7-x）在x∈[2，6]上的值域，
該函數(shù)在[2，4]上遞增，在[4，6]上遞減，
∴當(dāng)x=2或6時，m取最小值5，∴當(dāng)x=4時，m取最大值9，
∴m的取值范圍為[5，9]．

點評 本題考查函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的判定，屬中檔題．