Question

圓C₁：x²+y²+2ax+a²-4=0和圓C₂：x²+y²-2by+b²-1=0相內(nèi)切，若a，b∈R，且ab≠0，則

1

a2

+

1

b2

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，可得a²+4b²=1，再利用“1”的代換，使用基本不等式求得

1

a2

+

1

b2

的最小值．

解答： 解：由題意，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 （x+a）²+y²=4，x²+（y-2b）²=1，
∴圓心分別為（-a，0），（0，2b），半徑分別為2和1，
∵兩圓相內(nèi)切，∴

a2+4b2

=1，∴a²+4b²=1，
∴

1

a2

+

1

b2

=（

1

a2

+

1

b2

）（a²+4b²）=5+

a2

b2

+

4b2

a2

≥5+4=9
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，基本不等式的應(yīng)用，得到a²+4b²=1是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．