Question

9．己知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$-${sin}^{2}\frac{ωx}{2}+\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)．求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$），由題意和周期公式可得ω=2；
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]和不等式的性質(zhì)可得三角函數(shù)的值域．

解答 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$-${sin}^{2}\frac{ωx}{2}+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$+$\frac{1}{2}$（1-2sin²$\frac{ωx}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$+$\frac{1}{2}$cosωx
=sin（ωx+$\frac{π}{6}$），由題意可得$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2；
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬-$\frac{1}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和值域，屬基礎(chǔ)題．