Question

20．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)，且A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}＜ϕ＜\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（α）=$\frac{6}{5}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，求$f（2α+\frac{π}{12}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 cos（α-$\frac{π}{6}$），利用二倍角公式求得sin（2α-$\frac{π}{3}$）和cos（2α-$\frac{π}{3}$）的值，再利用兩角和的正弦公式求得$f（2α+\frac{π}{12}）$的值．

解答 解：（1）由圖可知，A=2，T=$\frac{2π}{ω}$=2π，故ω=1，所以，f（x）=2sin（x+ϕ）．
又$f（\frac{2π}{3}）=2sin（\frac{2π}{3}+ϕ）=2$，且$-\frac{π}{2}＜ϕ＜\frac{π}{2}$，故$ϕ=-\frac{π}{6}$．
于是，f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）．
（2）由$f（α）=\frac{6}{5}$，得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，因?yàn)?0＜α＜\frac{π}{2}$，所以 cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
所以，sin（2α-$\frac{π}{3}$）=2sin（α-$\frac{π}{6}$）cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$，
cos（2α-$\frac{π}{3}$）=2cos²（α-$\frac{π}{6}$）-1=$\frac{7}{25}$，
所以$f（2α+\frac{π}{12}）=2sin（2α-\frac{π}{12}）=2sin（2α-\frac{π}{3}+\frac{π}{4}）$=$2sin（2α-\frac{π}{3}）cos\frac{π}{4}+2cos（2α-\frac{π}{3}）sin\frac{π}{4}=\frac{{31\sqrt{2}}}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．還考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．