Question

4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意自然數(shù)n，數(shù)11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹是133的倍數(shù)．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當(dāng)n=0時，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合因式的配湊法，證明當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立即可．

解答 證明：（1）當(dāng)n=0時，11⁰⁺²+12⁰⁺¹=133是133的倍數(shù)，
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，11^k+2+12^2k+1=133M，即是133的倍數(shù)．
則n=k+1時，11^k+3+12^2k+3=11（11^k+2+12^2k+1）+133×12^2k+1
=133M+133×12^2k+1是133的倍數(shù)．
由①②知，對于任意自然數(shù)n，數(shù)11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹是133的倍數(shù)．

點評 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：
設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立