Question

19．如圖，某廣場中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，∠ABC=$\frac{2π}{3}$，管理部門欲在該地從M到D修建小路；在$\widehat{MN}$上選一點(diǎn)P（異于M、N兩點(diǎn)），過點(diǎn)P修建與BC平行的小路PQ．
（1）設(shè)∠PBC=θ，試用θ表示修建的小路$\widehat{MP}$與線段PQ及線段QD的總長度l；
（2）求l的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，QP，交AB于E利用正弦定理，求出EP，EB，即可用θ表示修建的小路$\widehat{MP}$與線段PQ及線段QD的總長度l；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求l的最小值．

解答 解：（1）由題意，延長QP，交AB于E，則${l}_{\widehat{MP}}$=（$\frac{2π}{3}$-θ），
△BPE中，∠EPB=θ，∠EBP=$\frac{2π}{3}$-θ，∠BEP=$\frac{π}{3}$，
∴EP=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-θ），EB=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinθ，
∴PQ=2-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-θ），QD=2-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinθ，
∴l(xiāng)=$\frac{2π}{3}$-θ+2-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-θ）+2-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinθ
=4-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-θ）-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinθ+$\frac{2π}{3}$-θ
=4-2sin（θ+$\frac{π}{6}$）+$\frac{2π}{3}$-θ（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$）；
（2）l′=-2cos（θ+$\frac{π}{6}$）-1，
∴0＜θ＜$\frac{π}{2}$時，l′＜0，$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$，時，l′＞0，
∴θ=$\frac{π}{2}$時，l取得最小值，最小值為（4-$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$）百米．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦定理與兩角差與兩角和的正弦，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．