Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n項和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差數(shù)列．
（1）計算S₁，S₂，S₃的值；
（2）猜想S_n的表達(dá)式，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合遞推思想能求出S₁，S₂，S₃的值．
（2）由S₁，S₂，S₃的值，猜想Sn=

2n-1

2n-1

=2-（

1

2

）^n-1．再利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n項和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差數(shù)列，
∴2S_n+1=S_n+2S₁，
∵S₁=a₁=1，∴n=1時，2S₂=S₁+2S₁=3，解得S2=

3

2

，
n=2時，2S3=S2+2S1=

7

2

，解得S3=

7

4

．…（6分）
（2）猜想Sn=

2n-1

2n-1

=2-（

1

2

）^n-1．
證明：∵Sn+1=

1

2

Sn+1，∴Sn+1-2=

1

2

(Sn-2)．
∴Sn-2=(S1-2)(

1

2

)n-1=-（

1

2

）^n-1，．
Sn=2-(

1

2

)n-1．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．