Question

數列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n項和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差數列．
（1）計算S₁，S₂，S₃的值；
（2）猜想S_n的表達式，并證明．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件，利用等差數列的性質，結合遞推思想能求出S₁，S₂，S₃的值．
（2）由S₁，S₂，S₃的值，猜想Sn=

2n-1

2n-1

=2-（

1

2

）^n-1．再利用等差數列的性質進行證明．

解答： 解：（1）因為數列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n項和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差數列，
∴2S_n+1=S_n+2S₁，
∵S₁=a₁=1，∴n=1時，2S₂=S₁+2S₁=3，解得S2=

3

2

，
n=2時，2S3=S2+2S1=

7

2

，解得S3=

7

4

．…（6分）
（2）猜想Sn=

2n-1

2n-1

=2-（

1

2

）^n-1．
證明：∵Sn+1=

1

2

Sn+1，∴Sn+1-2=

1

2

(Sn-2)．
∴Sn-2=(S1-2)(

1

2

)n-1=-（

1

2

）^n-1，．
Sn=2-(

1

2

)n-1．…（12分）

點評：本題考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列性質的合理運用．