Question

如圖，已知|AB|=10，圖中的一系列圓是圓心分別為A、B的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，…，n，…．利用這兩組同心圓可以畫出以A、B為焦點的橢圓或雙曲線．若其中經(jīng)過點M、N的橢圓的離心率分別是e_M，e_N，經(jīng)過點P，Q的雙曲線的離心率分別是e_P，e_Q，則它們的大小關(guān)系是

 

（用“＜”連接）．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得出c=5，然后數(shù)格子，得出2a=2，進而求出各自的離心率，然后進行比較．

解答： 解：由題意可知：所有的雙曲線的焦距一定為|AB|=10，
即2c=10，∴c=5，
各點的對應(yīng)表：（指經(jīng)過該點的圓的半徑）

	以A為圓心的圓的半徑	以B為圓心的圓的半徑
M	3	10
N	5	7
P	7	3
Q	3	8

由橢圓的第一定義得到：
對過M點的橢圓：|PA|+|PB|=2a=3+10=13，∴a=

13

2

，e_M=

5

13 2

=

10

13

；
對過N點的橢圓：|PA|+|PB|=2a=5+7=12，∴a=6，e_N=

5

6

；
由雙曲線的第一定義得到：
對過P點的雙曲線：||PA|-|PB||=2a=|7-3|=4，∴a=2，eP =

5

2

；
對過Q點的雙曲線：||PA|-|PB||=2a=|3-8|=5，∴a=

5

2

，e_Q=

5

5 2

=2．
∴e_M＜e_N＜e_Q＜e_P；
故答案為：e_M＜e_N＜e_Q＜e_P．

點評：本題考查了橢圓和雙曲線的定義以及簡單性質(zhì)，根據(jù)格子確定a的值，和真正懂得雙曲線的定義，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．