如圖所示，已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），且F2到直線x-
3
y-9=0的距離等于橢圓的短軸長．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P的圓心為P（0，t）（t＞0），且經(jīng)過F1、F2，Q是橢圓C上的動點(diǎn)且在圓P外，過Q作圓P的切線，切點(diǎn)為M，當(dāng)|QM|的最大值為
3
2
2
時(shí)，求t的值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，利用已知條件點(diǎn)到直線的距離求解b，然后求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），求出圓P的方程為x2+（y-t）2=t2+1，利用PM⊥QM，求出|OM|的表達(dá)式，利用|QM|取得最大值，求出t的值．
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
依題意，2b=
|1-9|
2
=4，
∴b=2…（2分）
又c=1，∴a2=b2+c2=5，
∴橢圓C的方程為
x2
5
+
y2
4
=1．…（5分）
（Ⅱ） 設(shè)Q（x，y）（其中
x2
5
+
y2
4
=1），…（6分）
圓P的方程為x2+（y-t）2=t2+1，…（7分）
∵PM⊥QM，
∴|QM|=
|PQ|2-t2-1
=
x2+(y-t)2-t2-1

=
-
1
4
(y+4t)2+4+4t2
…（9分）
當(dāng)-4t≤-2即t≥
1
2
時(shí)，當(dāng)y=-2時(shí)，|QM|取得最大值，
且|QM|max=
4t+3
=
3
2
2
，解得t=
3
8
＜
1
2
（舍去）．…（11分）
當(dāng)-4t＞-2即0＜t＜
1
2
時(shí)，當(dāng)y=-4t時(shí)，|QM|取最大值，
且|QM|max=
4+4t2
=
3
2
2
，
解得t2=
1
8
，又0＜t＜
1
2
，∴t=
2
4
．…（13分）
綜上，當(dāng)t=
2
4
時(shí)，|QM|的最大值為
3
2
2
．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2+2x，則f（-1）=（　�。�
A、1B、-1C、3D、-3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法錯(cuò)誤的是（　�。�
A、平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行
B、一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另外一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行
C、一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則該直線與此平面垂直
D、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

P是圓O：x2+y2=4上的動點(diǎn)，過P作x軸的垂線，垂足為Q，若PQ中點(diǎn)M的軌跡記為Γ．
（1）求Γ的方程；
（2）若直線l：y=kx+3與曲線Γ相切，求直線l被圓O截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F（c，0）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，圓F：（x-c）2+y2=a2與x軸交于E，D兩點(diǎn)，B是橢圓C與圓F的一個(gè)交點(diǎn)，且|BD|=
3
×|BE|．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）過點(diǎn)B與圓F相切的直線l與C的另一交點(diǎn)為A，且△ABD的面積等于24×
6
×
c
13
，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4ax+2a+12的值域?yàn)榧螹，集合N={y|y=
x
}，M∩N=M．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求關(guān)于x的方程
x
a+2
=|a-1|+2的根的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，且拋物線y2=4
3
x與該橢圓有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF2⊥F1F2，|PF1|=
7
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)D（
3
2
，0），過F2且不垂直于坐標(biāo)軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點(diǎn)A（1，2）是拋物線C：y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B（5，-2）的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：
PA
•
QA
為定值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P，Q與點(diǎn)A不重合，問△APQ的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M（0，
3
），N（0，-
3
），平面上一動點(diǎn)P滿足|PM|+|PN|=4，記點(diǎn)P的軌跡為P．
（1）求軌跡P的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)E（0，1）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l1：y=kx+b1與軌跡P相交于A，B兩點(diǎn)，若y軸上存在一點(diǎn)Q，使得直線QA，QB關(guān)于y軸對稱，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）是否存在不過點(diǎn)E（0，1），且不垂直坐標(biāo)軸的直線l，它與軌跡P及圓E：x2+（y-1）2=9從左到右依次交于C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)，且滿足
.
ED
-
.
EC
=
.
EG
-
.
EF
？若存在，求出當(dāng)△OCG的面積S取得最小值時(shí)k2的值；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案