已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，判斷f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，若f(2x)=
5
4
，求x的值；
（Ⅲ）若b＜-1，且對(duì)任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題
專(zhuān)題：綜合題,探究型,分類(lèi)討論,轉(zhuǎn)化思想
分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1，b=0代入函數(shù)解析式，直接舉反例說(shuō)明函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（Ⅱ）把a(bǔ)=1，b=1代入函數(shù)解析式，在函數(shù)解析式中，取x=2x，然后分類(lèi)去絕對(duì)值，求解關(guān)于2x 的方程后得答案；
（Ⅲ）在b＜-1的前提下，當(dāng)x=0時(shí)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a不等式f（x）＜0恒成立，在x∈（0，1]時(shí)，把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為x+
b
x
＜a＜x-
b
x
，由單調(diào)性求得左側(cè)函數(shù)的最大值和右側(cè)函數(shù)的最小值得a的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）a=1，b=0時(shí)，f（x）=x|x-1|既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，
∵f（-1）=-2，f（1）=0，
∴f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），
∴f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，f（x）=x|x-1|+1，
由f(2x)=
5
4
，得2x|2x-1|+1=
5
4
，
即
2x≥1
(2x)2-2x-
1
4
=0
①
或
2x＜1
(2x)2-2x+
1
4
=0
②
解①得，2x=
1+
2
2
或2x=
1-
2
2
（舍），
解②得，2x=
1
2
．
∴x=log2
1+
2
2
=log2(1+
2
)-1或x=-1；
（Ⅲ）當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考慮x∈（0，1]，此時(shí)原不等式變?yōu)?span id="ycrn44c" class="MathJye">|x-a|＜
-b
x
，
即x+
b
x
＜a＜x-
b
x
，
故(x+
b
x
)max＜a＜(x-
b
x
)min，x∈(0，1]，
又函數(shù)g(x)=x+
b
x
在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴(x+
b
x
)max=g(1)=1+b，
對(duì)于函數(shù)h(x)=x-
b
x
，x∈(0，1]．
b＜-1時(shí)，在（0，1]上h（x）單調(diào)遞減，(x-
b
x
)min=h(1)=1-b，
又1-b＞1+b，
∴此時(shí)a的取值范圍是（1+b，1-b）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查了函數(shù)奇偶性的判斷，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，對(duì)于（Ⅲ）的求解，明確b是具體常數(shù)是關(guān)鍵，屬有一定難度題目．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)F（-c，0）（c＞0）是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左焦點(diǎn)，離心率為e，過(guò)F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x2+y2=c2交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在拋物線y2=4cx上，則e2=（　　）
A、
3+
5
2
B、
5
C、
5
-1
2
D、
1+
5
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A={x∈R|-1＜x＜3}，B={x∈R|x＞a}，若A?B，求a的取值范圍．

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已知指數(shù)函數(shù)f（x）=a x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，π），求f（0）、f（1）、f（-3）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理科學(xué)生做）若函數(shù)f（x）對(duì)任意x1，x2∈D，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，則稱(chēng)f（x）為D上的“收縮”函數(shù)
（1）判斷函數(shù)f(x)=
1
4
x2+
1
2
x在[-1，1]上是否是“收縮”函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）是否存在k∈R，使得f(x)=
k
x+2
在[-1，+∞）上為“收縮”函數(shù)，若存在，求k的范圍；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若D=[0，1]，且f（0）=f（1），且f（x）為“收縮”函數(shù)，問(wèn)|f(x1)-f(x2)|≤
1
2
能否成立，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

記關(guān)于x的不等式x2-ax+x-a＜0的解集為A，B={x|0≤x≤2}．
 （1）若B⊆A，求正數(shù)a的取值范圍；
 （2）若C={x|ax-1=0}且C?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，三邊a，b，c成等差數(shù)列，求tanA+tanB的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

不等式|3x-6|-|x-4|＞2x的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ex（x+1）給出下列命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ex（1-x）
②函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)
③f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
④?x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2
其中正確的命題是
 
．

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