Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁=a，AB=2a，AA₁=BC=a的矩形，E為C₁D₁的中點．
1）求證：平面BCE⊥平面BDE；
2）求點C到平面BDE的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明平面BCE⊥平面BDE，只要證明DE⊥平面EBC，只要證明由EC⊥ED，BC⊥DE，即可證明．
（2）由V_C-EBD=V_E-BCD可求C到平面BDE的距離．

解答： （1）證明：由題意可得，EC=ED=

2

a
∵CD=2a
∴EC⊥ED，
∵BC⊥平面CC₁D₁D
∴BC⊥DE，
即DE垂直于平面EBC中兩條相交直線，
因此DE⊥平面EBC，
∵DE?平面BDE，
∴平面BCE⊥平面BDE；
（2）解：結(jié)合第（1）問得DB=

5

a，DE=

2

a，BE=

3

a，DE⊥BE，
所以，S_△EBD=

1

2

×

2

a×

3

a=

6

2

a2
又由V_C-EBD=V_E-BCD得

1

3

h×

6

2

a2=

1

3

a³
 故C到平面BDE的距離為h=

6

3

a．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，等體積求解點到面的距離的應(yīng)用．