【題目】某公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，，AB的長(zhǎng)為2百米，BC的長(zhǎng)為1百米.

（1）若準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（1），使得，，在△DEF內(nèi)喂食，求當(dāng)△DEF的面積取最大值時(shí)EF的長(zhǎng)；

（2）若準(zhǔn)備建造一個(gè)荷塘，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，記，求△DEF邊長(zhǎng)的最小值及此時(shí)的值.（精確到1米和0.1度）

【答案】（1）；（2）最小值是65米，

【解析】

（1）設(shè)EF＝x，則可求CE，BE，DE，求得S△DEFx（1），x∈（0，2），由基本不等式可得：（1）（）2當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，從而可求當(dāng)△DEF的面積取最大值時(shí)EF的長(zhǎng)；

（2）設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為EF＝ED＝DF＝y，在△EBD中，由正弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)可得y0.65，即可求得△DEF邊長(zhǎng)的最小值及此時(shí)α的值．

（1）設(shè)，則，故，所以，S△DEF，，

因?yàn)镾△DEF當(dāng)且僅當(dāng)（即EF長(zhǎng)100米）時(shí)等號(hào)成立，

即（S△DE）max.

（2）設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為，在△EBD中，，，

由題意可知，則，所以，

即，即△DEF邊長(zhǎng)的最小值是65米，

此時(shí)，，

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【題目】記無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令．

（1）若，寫出，，，的值；

（2）設(shè)，若，求的值及時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）求證：“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列是等差數(shù)列”．

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【題目】七巧板是古代中國(guó)勞動(dòng)人民發(fā)明的一種中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.清陸以湉《冷廬雜識(shí)》卷一中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余.體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)）.直線與曲線分別交于兩點(diǎn).

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，求的值.

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【題目】過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為(　　)

A. 8 B. 16 C. 32 D. 64

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【題目】若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).

（1）若具有性質(zhì)，且， ，求；

（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列， ， ， 判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知.求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.

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【題目】如圖，四邊形為正方形，，且，平面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)、分別在線段、上，且，，現(xiàn)將沿折到的位置，連結(jié)，，如圖2

（1）證明：；

（2）記平面與平面的交線為.若二面角為，求與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，過點(diǎn)且與x軸不重合的直線l與橢圓交于M，N不同的兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓P的方程；

（Ⅱ）當(dāng)AM與MN垂直時(shí)，求AM的長(zhǎng)；

（Ⅲ）若過點(diǎn)P且平行于AM的直線交直線于點(diǎn)Q，求證：直線NQ恒過定點(diǎn)．

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