Question

已知△ABC的外接圓半徑R=

2

，a、b、C分別為∠A、∠B、∠C的對邊，向量

m

=(sinA-sinC，b-a)，

n

=(sinA+sinC，

2

4

sinB)，且

m

⊥

n

．
（1）求∠C的大小；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,三角形中的幾何計(jì)算

專題：綜合題

分析：（1）由

m

⊥

n

，推出

m

•

n

=0，利用坐標(biāo)表示化簡表達(dá)式，結(jié)合余弦定理求角C；
（2）利用（1）中c²=a²+b²-ab，應(yīng)用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面積S的最大值．

解答： 解答：解：（1）∵

m

⊥

n

⇒

m

•

n

=0
∴(sinA-sinC)(sinA+sinC)+

2

4

(b-a)sinB=0
且 2R=2

2

，由正弦定理得：(

a

2R

)2-(

c

2R

)2+

2

4

b

2R

(b-a)=0
化簡得：c²=a²+b²-ab
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC∴2cosC=1⇒cosC=

1

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

（2）∵a²+b²-ab=c²=（2RsinC）²=6，
∴6=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”），
S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

2

3

所以，Smax=

3

2

3

，此時(shí)，△ABC為正三角形．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，是中檔題．