考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)列的求和
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)三角函數(shù)的角的關(guān)系,sin
2α+cos
2α=1,得到
||=||=1,再根據(jù)垂直關(guān)系得到
•=0,問題得以解決.
(2)根據(jù)三角函數(shù)中的運(yùn)算得a
n=cosn(α-β),再分類討論即可.
解答:
(1)證明:∵
=(cosnα,sinnα),
=(cosnβ,sinnβ),
∴當(dāng)n=1時,
=(cosα,sinα),
=(cosβ,sinβ),
∴
||=||=1,
∵
⊥,
∴
•=0∴|
-|
2=
||2+||2-2•=2,
∴|
-|=
;
(2)∵
=(cosnα,sinnα),
=(cosnβ,sinnβ),a
n=
•.
∴a
n=
•=cosnαcosnβ+sinnαsinnβ=cosn(α-β),
∵α-β=
,
∴a
n=cosn(α-β)=cos(n•
)
當(dāng)n為奇數(shù)時,a
n=0,
當(dāng)n為偶數(shù)時,是4的倍數(shù)時a
n=1,是2的倍數(shù)不是4的倍數(shù)時a
n=-1
則數(shù)列{a
n}為0,-1,0,1,0,-1,0,1,…,
故數(shù)列{a
n}的前2n項(xiàng)的和為S
2n=
.
點(diǎn)評:本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,向量的垂直,向量的模的計算,屬于中檔題.