Question

設(shè)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=x²+1．
（1）f（x）在（1，2）上增，（2，3）上減
（2）f（2014）=1
（3）f（x）圖象關(guān)于x=2k+1（k∈Z）對稱
（4）當(dāng)x∈[3，4]時，f（x）=（x-4）²+1    
則正確的個數(shù)有（　�。﹤�．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x+1）=-f（x），求出函數(shù)的周期為2，再由偶函數(shù)和x∈[0，1]，f（x）=x²+1，求出x∈[-1，1]，f（x）=x²+1，可畫出函數(shù)的圖象，由圖象對選項一一加以判斷，觀察[1，3]的圖象，可判斷（1）；由歸納得到x=2k為對稱軸，即可判斷（2）；由圖象，可判斷（3）；將x∈[-1，1]，f（x）=x²+1的圖象向右平移4個單位，得到x∈[3，4]的圖象，即可得到對應(yīng)的解析式，可判斷（4）．

解答： 解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=x²+1，
∴當(dāng)x∈[-1，0]，f（x）=x²+1．
（1）f（x）在（-1，0）上減，
在（0，1）上為增，
故在（1，2）上為減，（2，3）上為增，
故（1）錯誤；
（2）當(dāng)x=2k（k為整數(shù)）時，f（x）=1，即f（2014）=1，故（2）正確；
（3）f（x）圖象關(guān)于x=2k+1（k∈Z）對稱，故（3）正確；
（4）將x∈[-1，1]，f（x）=x²+1的圖象向右平移4個單位，得到x∈[3，4]時，f（x）=（x-4）²+1的圖象，故（4）正確．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性，以及對稱性，函數(shù)解析式，是一道函數(shù)的綜合題．