Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別是、，直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是．

（1）求點M的軌跡方程；

（2）若直線經(jīng)過點，與軌跡有且僅有一個公共點，求直線的方程．

Answer 1

（1），其中；（2）直線的方程為或或

【解析】

試題分析：（1）設(shè)M（，）是軌跡上任意一點，根據(jù)題意，由斜率公式列出直線AM、BM的表達式，由題，化簡可得化簡得軌跡方程為，特別注意

（2）由題意顯然所求直線存在斜率，設(shè)：，根據(jù)（1）點A、B不在軌跡上，所以直線經(jīng)過點A、B時，與與軌跡有且僅有一個公共點，故分三種情況①當(dāng)直線經(jīng)過A點時，；②當(dāng)直線經(jīng)過B點時③當(dāng)點P為切點時，可得三條直線滿足題意

試題解析：（1）設(shè)M（，）是軌跡上任意一點，，

依題意，

整理化簡得軌跡方程為，其中

（2）顯然所求直線存在斜率，設(shè)：

①當(dāng)直線經(jīng)過A點時，，代入得

②當(dāng)直線經(jīng)過B點時，，代入得

③當(dāng)點P為切點時，由得

解得

代入得，綜上所述，直線的方程為或或

考點：橢圓方程，直線方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系