Question

從側(cè)面都是正三角形的正四棱錐的8條棱中隨機(jī)選兩條，記ξ為這兩條棱所成角的大�。�
（1）求概率P（ξ=

π

2

）；
（2）求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）從正四棱錐的8條棱中任選兩條，共有

C

2 8

種不同方法，其中“ξ=

π

2

”包含了兩類情形，利用古典概型的概率公式求出；
（2）求出ξ取0，

π

3

，

π

2

時(shí)的概率，列出分布列，利用期望公式求出數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

解答： 解：（1）從正四棱錐的8條棱中任選兩條，共有

C

2 8

種不同方法，
其中“ξ=

π

2

”包含了兩類情形：
①?gòu)牡酌嬲�方形�?條棱中任選兩條相鄰的棱，共有4種不同方法；
②從4條側(cè)棱中選兩條，共有2種不同方法，
所以P(ξ=

π

2

)=

4+2

C 2 8

=

3

14

；                                  …（4分）
（2）依題意，ξ的所有可能取值為0，

π

3

，

π

2

，
“ξ=0”包含了從底面正方形的4條棱中任選兩條對(duì)棱，共2種不同方法；
所以P(ξ=0)=

2

C 2 8

=

1

14

；                                   …（6分）
從而P（ξ=

π

3

）=1-P(ξ=0)-P(ξ=

π

2

)=

5

7

，…（8分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	π 3	π 2
P	1 14	5 7	3 14

數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×

1

14

+

π

3

×

5

7

+

π

2

×

3

14

=

29

84

π．              …（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)在于準(zhǔn)確理解好題意，還考查了離散型隨機(jī)變量的定義及其分布列，利用期望定義求出離散型隨機(jī)變量的期望．