Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線(xiàn)在x軸和y軸上的截距相等，且截距不為零，求此切線(xiàn)的方程；
（2）從圓C外一點(diǎn)p向該圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有PM=PO，求使PM的長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)N（0，

5

3

）為線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）利用待定系數(shù)法給出切線(xiàn)的截距式方程，然后再利用圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑列方程求系數(shù)即可；
（2）可先利用PM（PM可用P點(diǎn)到圓心的距離與半徑來(lái)表示）=PO，求出P點(diǎn)的軌跡（求出后是一條直線(xiàn)），然后再將求PM的最小值轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離PO之最小值；
（3）顯然直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)N（0，

5

3

），所以可設(shè)直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式（沒(méi)斜率的只需要驗(yàn)證一下），只需要一個(gè)條件列出關(guān)于k的方程即可，則點(diǎn)N是三等分點(diǎn)就是要找的等量關(guān)系，具體來(lái)說(shuō)，只需先用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式表示出圓心到直線(xiàn)l的距離，半徑已知，則弦長(zhǎng)l可表示，則弦的中點(diǎn)S到N的距離為

1

6

l，然后在直角三角形CNS中，可列出關(guān)于k的方程．

解答： 解（1）Q切線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且截距不為零，∴設(shè)切線(xiàn)方程為x+y=a（a≠0），
又∵圓C：（x+1）²+（y-2）²=2，∴圓心C（-1，2）半徑r=

2

，
由已知得

|-1+2-a|

2

=

2

，解得a=-1或a=3，
故所求切線(xiàn)方程為x+y+1=0或x+y-3=0．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），∵切線(xiàn)PM⊥CM，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，
∴(x1+1)2+(y1-2)2-2=x12+y12，
化簡(jiǎn)得2x₁-4y₁+3=0，
所以動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)2x-4y+3=0上，
由已知|PM|_min=|PO|_min=|

2×0-4×0+3

22+42

|=

3 5

10

，
則此時(shí)

x12+y12= 9 20 2x1-4y1+3=0

，解得

x1=- 3 10 y1= 3 5

，
∴所求點(diǎn)P（-

3

10

，

3

5

）．
（3）①若直線(xiàn)l的斜率不存在，則l：x=0，此時(shí)直線(xiàn)與圓C交于A（0，1），B（0，3），易知點(diǎn)N(0，

5

3

)為AB的三等分點(diǎn)，符合題意；
②若直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)l：y-

5

3

=kx，不妨設(shè)N(0，

5

3

)為靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)．取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)S，且記弦長(zhǎng)AB為L(zhǎng)，圓心C到直線(xiàn)l的距離為d
在直角三角形CSN中：CN²=CS²+SN²，即

10

9

=d2+(

L

6

)2；
在直角三角形CSA中：CA²=CS²+SA²，即2=d2+(

L

2

)2⇒9(

10

9

-d2)=2-d2⇒d=1
所以1=

|-k- 1 3 |

k2+1

，可得：k=

4

3

，
直線(xiàn)方程為y-

5

3

=

4

3

x，
即4x-3y+5=0．

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)題重點(diǎn)考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，切線(xiàn)問(wèn)題一般利用半徑=弦心距列方程；切線(xiàn)長(zhǎng)問(wèn)題一般會(huì)考慮到點(diǎn)到圓心距、切線(xiàn)長(zhǎng)、半徑滿(mǎn)足勾股定理列方程；弦長(zhǎng)問(wèn)題一般會(huì)利用垂徑定理求解．