Question

已知函數(shù)f(x)=

x3-x2+ax，x≤1 lnx，x＞1

，在x=1處連續(xù)．
（I）求a的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（III）若不等式f（x）≤x+c對一切x∈R恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）由f（x）在x=1處連續(xù)，得f（1）=ln1，求出a的值；
（II）由（I）得f（x），利用導(dǎo)數(shù)判定f（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；
（III）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x，利用導(dǎo)數(shù)判定g（x）的增減性，求出g（x）的最大值，即得c的取值范圍．

解答： 解：（I）∵f（x）在x=1處連續(xù)，
∴f（1）=1-1+a=ln1，
∴a=0．
（II）由（I）得，f（x）=

x3-x2，x≤1 lnx，  x＞1

，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′(x)=3x2-2x，令f′(x)＜0，可得0＜x＜

2

3

．
當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)=

1

x

，故f′(x)＞0．
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，

2

3

)．
（III）設(shè)g（x）=f（x）-x=

x3-x2-x，x≤1 lnx-x，  x＞1

，
當(dāng)x＜1時(shí)，g'（x）=3x²-2x-1，
令g′(x)＞0，可得x＜-

1

3

或x＞1，即x＜-

1

3

；
令g′(x)＜0，可得-

1

3

＜x＜1．
可得(-∞，-

1

3

)為函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間，(-

1

3

，1)為函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間．
當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)=

1

x

-1，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0．
∴（1，+∞）為函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間，
又函數(shù)g（x）在x=1處連續(xù)，
于是函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

1

3

)，單調(diào)減區(qū)間為(-

1

3

，+∞)．
所以函數(shù)g(x)的最大值為g(-

1

3

)=-

1

27

-

1

9

+

1

3

=

5

27

，
要使不等式f（x）≤x+c對一切x∈R恒成立，
即g（x）≤c對一切x∈R恒成立，
又g(x)≤

5

27

，
∴c的取值范圍為{c|c≥

5

27

}．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究分段函數(shù)的單調(diào)性與最值以及不等式的恒成立問題，是難題．