Question

17．已知在公差不為零的等差數列{a_n}中，a₅=3a₂-1，且a₁，a₂，a₄成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數列{（-1）ⁿ•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知利用等差數列通項公式和等比數列性質列出方程組，求出首項與公差，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+n+1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$，得（-1）ⁿ•b_n=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$）=（-1）ⁿ$•\frac{1}{n}$+（-1）ⁿ•$\frac{1}{n+1}$，由此根據n的奇偶性進行分類，能求出數列{（-1）ⁿ•b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵公差不為零的等差數列{a_n}中，a₅=3a₂-1，且a₁，a₂，a₄成等比數列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=3（{a}_{1}+d）-1}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）}\\{d≠0}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
∴數列{a_n}的通項公式a_n=n．
（2）∵b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+n+1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$，
∴（-1）ⁿ•b_n=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$）=（-1）ⁿ$•\frac{1}{n}$+（-1）ⁿ•$\frac{1}{n+1}$，
∴當n是奇數時，數列{（-1）ⁿ•b_n}的前n項和：
S_n=（-$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+$…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）+（-$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=-1-$\frac{1}{n+1}$
=-$\frac{n+2}{n+1}$．
當n是偶數時，數列{（-1）ⁿ•b_n}的前n項和：
S_n=（-$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+$…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$）+（-$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+$…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$）
=-1+$\frac{1}{n+1}$
=-$\frac{n}{n+1}$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n+2}{n+1}，n為奇數}\\{\frac{n}{n+1}，n為偶數}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列、等比數列的性質和分類討論思想的合理運用．