Question

已知函數(shù)f（x）=2^|x|-sin（

5π

2

+x），對(duì)于任意的x₁，x₂∈[-π，π]，有如下條件：
①x₁²＞x₂²；   ②x₁＞x₂；  ③|x₁|＞x₂；   ④x₁＞|x₂|．
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡(jiǎn)f（x）后可判斷f（x）的奇偶性、單調(diào)性，借助偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷①④的正確性；舉反例可說明②③的錯(cuò)誤．

解答： 解：f（x）=2^|x|-sin（

5π

2

+x）=2^|x|-cosx，
∵f（-x）=2^|-x|-cos（-x）=2^|x|-cosx=f（x），
∴函數(shù)f（x）=2^|x|-cosx為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（|x|）；
又x∈[0，π]時(shí)，2^|x|=2^x遞增，-cosx遞增，
∴f（x）=2^|x|-cosx在[0，π]上單調(diào)遞增，且在[-π，0]上單調(diào)遞減．
①中，x₁²＞x₂²，即|x₁|＞|x₂|，
結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)得f（|x₁|）＞f（|x₂|），
∴f（x₁）＞f（x₂）；
④中，x₁＞|x₂|，即|x₁|＞|x₂|，
于是也有f（x₁）＞f（x₂）；
②③中，取x₁=0，x₂=-1，可知 f（x₁）＜f（x₂）；
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性，得到f（x）為偶函數(shù)，在[0，π]上單調(diào)遞增是關(guān)鍵，考查分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．