Question

17．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f′（x），當(dāng)x≠0時(shí)，$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＜0$，若a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$），$b=-\sqrt{2}f（-\sqrt{2}）$，c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln$\frac{1}{2}$），則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（　�。�

• A． a＜c＜b
• B． b＜c＜a
• C． a＜b＜c
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），判斷g（x）的單調(diào)性與奇偶性即可得出結(jié)論．

解答 解：令g（x）=xf（x），則g（-x）=-xf（-x）=xf（x）
∴g（x）是偶函數(shù)．
g′（x）=f（x）+xf′（x）
∵$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＜0$
∴當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＜0，
當(dāng)x＜0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
∵$\frac{1}{2}$＜ln2＜1＜$\sqrt{2}$
∴g（$\sqrt{2}$）＜g（ln2）＜g（$\frac{1}{2}$）
∵g（x）是偶函數(shù)．
∴g（-$\sqrt{2}$）=g（$\sqrt{2}$），g（ln$\frac{1}{2}$）=g（ln2）
∴g（-$\sqrt{2}$）＜g（ln$\frac{1}{2}$）＜g（$\frac{1}{2}$）
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．