Question

4．函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足f（1+x）=f（1-x），且當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)f（x）=2^x，若f（m）$＞\frac{1}{2}$，則m的取值范圍為-1＜m＜3．

Answer 1

分析 由已知中對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，我們易得到函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=1，由2^x=$\frac{1}{2}$，可得x=-1，根據(jù)對(duì)稱性x=3時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$，即可解不等式．

解答 解：由題意，∵f（1+x）=f（1-x），
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
由2^x=$\frac{1}{2}$，可得x=-1，根據(jù)對(duì)稱性x=3時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$，
∵f（m）$＞\frac{1}{2}$，∴-1＜m＜3．
故答案為：-1＜m＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查解不等式，正確運(yùn)用對(duì)稱性是關(guān)鍵．