Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)k≤1時(shí)，求證：f（x）≥kx-1恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)，令f′（x）＞0，得到單增區(qū)間；令f′（x）＜0，得到單減區(qū)間．
（Ⅱ）可用兩種方法證明之．
方法一：要證xlnx≥kx-1（x＞0），即證lnx+

1

x

≥k，再令g(x)=lnx+

1

x

，x＞0，再通過(guò)求導(dǎo)確定其最小值進(jìn)行證明．
方法二：直接作差，令g（x）=f（x）-（kx-1）=xlnx-kx+1，依舊求導(dǎo)確定其性質(zhì)從而進(jìn)行證明．

解答： 解：
（Ⅰ） 定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，得 x=

1

e

，f′（x）與f（x）的情況如下：

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(0，

1

e

)，單調(diào)增區(qū)間為(

1

e

，+∞)
（Ⅱ）方法一：要證xlnx≥kx-1（x＞0），即證lnx+

1

x

≥k，
設(shè)g(x)=lnx+

1

x

，x＞0，g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，g'（x）與g（x）的情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以g（x）≥g（1）=1，即lnx+

1

x

≥1在x＞0時(shí)恒成立，
所以，當(dāng)k≤1時(shí)，lnx+

1

x

≥k，
所以xlnx+1≥kx，即xlnx≥kx-1，
所以，當(dāng)k≤1時(shí)，有f（x）≥kx．
方法二：令g（x）=f（x）-（kx-1）=xlnx-kx+1，g′（x）=lnx+1-k，
令g′（x）=0，得x=e^k-1 ，
g′（x）與g（x）的情況如下：

x	（0，ek-1）	ek-1	（ek-1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

g（x）的最小值為g（e^k-1）=1-e^k-1，
當(dāng)k≤1時(shí)，e^k-1≤1，所以1-e^k-1≥0
故g（x）≥0．
即當(dāng)k≤1時(shí)，f（x）≥kx-1．

點(diǎn)評(píng)：在證明不等式時(shí)，通過(guò)作差找到“差函數(shù)”，對(duì)“差函數(shù)”求導(dǎo)，從而確定其性質(zhì)．當(dāng)“差函數(shù)”形式比較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)需要拆分“差函數(shù)”，分別進(jìn)行研究，在這個(gè)過(guò)程中，參數(shù)分離也是常用的方法．