Question

f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-20|，1≤x≤20，則f（1）=

 

，f（5）=

 

，f（20）=

 

，當(dāng)x=

 

時，f（x）最小，最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（1）=1+2+3+4+5+…+19=

19×20

2

=190，f（5）=4+3+2+1+0+1+2+…+15=10+

15×16

2

=130，f（20）=19+18+17+…+1+0

19×20

2

=190，f（x）=（2n-20）x+210-n（n+1），如果n≥10，則有：f（x）≥（2n-20）n+210-n（n+1）=n²-21n+210，這個二次函數(shù)對稱軸在n=10.5，當(dāng)n取10和11的時候都可以得到最小值是100．

解答： f（1）=1+2+3+4+5+…+19=

19×20

2

=190，
f（5）=4+3+2+1+0+1+2+…+15=10+

15×16

2

=130，
f（20）=19+18+17+…+1+0

19×20

2

=190，
由題意知對任意1到20之間的整數(shù)n，當(dāng) n≤x＜n+1 時，
f（x）表達(dá)式中，前n個絕對值里面是正的，后20-n個絕對值里面是負(fù)的，
∴f（x）=nx-

(1+n)n

2

-（20-n）x+

(n+1+20)(20-n)

2

=（2n-20）x+210-n（n+1），
如果n＜10也就是 2n-20＜0，則有：
f（x）＞（2n-20）（n+1）+210-n（n+1）=n²-19n+190，
這個二次函數(shù)的對稱軸是n=9.5，
∴n=9的時候最小值是100，但是取不到，
如果n≥10，則有：
f（x）≥（2n-20）n+210-n（n+1）=n²-21n+210，
這個二次函數(shù)對稱軸在n=10.5，
∴當(dāng)n取10和11的時候都可以得到最小值是100．
故答案為：190，130，190，10或11，100．

點評：本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意絕對值性質(zhì)的合理運(yùn)用．