Question

若拋物線y=

1

2

x²+1在點(diǎn)（2，3）處的切線與圓x²+（y-m）²=5（m＞0）相切，則m的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：直線與圓

分析：由y=

1

2

x²+1，得y′=x，由此求出拋物線y=

1

2

x²+1在點(diǎn)（2，3）處的切線方程為2x-y-1=0，由題意知d=

|0-m-1|

4+1

=

5

，由此能求出m．

解答： 解：∵y=

1

2

x²+1，∴y′=x，
∴拋物線y=

1

2

x²+1在點(diǎn)（2，3）處的切線方程為：
y-3=2（x-2），即2x-y-1=0，
由題意知2x-y-1=0與圓x²+（y-m）²=5（m＞0）相切，
∴圓心（0，m）到直線2x-y-1=0的距離：
d=

|0-m-1|

4+1

=

5

，
解得m=4或m=-6（舍）．
故m=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用．