Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足$\frac{\sqrt{3}a}{sinA}=\frac{cosB}$．
（1）求角B的大�。�
（2）求$\sqrt{3}$sinA-cosC的最大值，并求取得最大值時角A，B的大�。�

Answer 1

分析 （1）由條件結(jié)合正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}a}{sinA}=\frac{cosB}=\frac{\sqrt{3}b}{sinB}$，解得tanB=$\sqrt{3}$，結(jié)合B的范圍即可解得B的大小．
（2）由（1）可得：C=$\frac{2π}{3}$-A，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得$\sqrt{3}$sinA-cosC=sin（A+$\frac{π}{6}$），由范圍A∈（0，$\frac{2π}{3}$），結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由條件結(jié)合正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}a}{sinA}=\frac{cosB}=\frac{\sqrt{3}b}{sinB}$，
從而解得：tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$…4分
（2）∵由（1）可得：C=$\frac{2π}{3}$-A，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosC=$\sqrt{3}$sinA-cos（$\frac{2π}{3}$-A）
=$\sqrt{3}$sinA-cos$\frac{2π}{3}$cosA-sin$\frac{2π}{3}$sinA
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA
=sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴當(dāng)A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，$\sqrt{3}$sinA-cosC取得最大值1，此時，A=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{3}$…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．