Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，求過(guò)橢圓內(nèi)點(diǎn)P（4，2）且被P平分的弦所在直線的方程．

Answer 1

分析 設(shè)直線被橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1所截弦的端點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求出A，B所在直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程得答案．

解答 解：設(shè)直線被橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1所截弦的端點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1$，
兩式作差得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$-\frac{9×8}{16×4}=-\frac{9}{8}$．
∴所求直線方程為：y-2=$-\frac{9}{8}（x-4）$，整理得：9x+8y-52=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”求解中點(diǎn)弦問(wèn)題，涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題，常采用此法，是中檔題．