Question

9．若橢圓$\frac{x^2}{k+8}+\frac{y^2}{9}=1$的離心率$e=\frac{1}{3}$，則k的值為0或$\frac{17}{8}$．

Answer 1

分析 分焦點在x軸上和y軸上兩種情況求得a²，c²的值，結(jié)合$e=\frac{1}{3}$列式求得k值．

解答 解：當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，a²=k+8，b²=9，
則c²=a²-b²=k-1，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{9}$，
∴$\frac{k-1}{k+8}=\frac{1}{9}$，解得：k=$\frac{17}{8}$；
當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，a²=9，b²=k+8，
則c²=a²-b²=1-k，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{9}$，
∴$\frac{1-k}{9}=\frac{1}{9}$，解得：k=0．
綜上，k=0或$\frac{17}{8}$．
故答案為：0或$\frac{17}{8}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．