Question

6．某網(wǎng)絡(luò)營銷部門隨機(jī)抽查了某市200名網(wǎng)友在2013年11月11日的網(wǎng)購金額，所得數(shù)據(jù)如下表：

網(wǎng)購金額（單位：千元）	（0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]	合計
人數(shù)	16	24	x	y	16	14	200
頻率	0.08	0.12	p	q	0.08	0.07	1.00

已知網(wǎng)購金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰為3：2．
（1）試確定x，y，p，q的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖（如圖）．
（2）該部門為了了解該市網(wǎng)友的購物體驗，從這200網(wǎng)友中，用分層抽樣的方法從網(wǎng)購金額在（1，2]和（4，5]的兩個群體中確定5人進(jìn)行問卷調(diào)查，若需從這5人中隨機(jī)選取2人繼續(xù)訪談．
①求此2人來自不同群體的概率是多少？
②（只理科生做）若來自網(wǎng)購金額在（1，2]的群體中的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布表及頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$列出方程組，能求出x，y，p，q的值，并能補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（2）①法一：根據(jù)題意，網(wǎng)購金額在（1，2]內(nèi)的人數(shù)為3人，網(wǎng)購金額在（4，5]內(nèi)的人數(shù)為2人，利用列舉法能求出2人來自不同群體的概率．
①法二：根據(jù)題意，網(wǎng)購金額在（1，2]內(nèi)的人數(shù)為3人，網(wǎng)購金額在（4，5]內(nèi)的人數(shù)為2人，利用排列組合知識能求出2人來自不同群體的概率概率．
②ξ可能取值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）依題意有：$\left\{\begin{array}{l}{16+24+x+y+16+14=200}\\{\frac{16+24+x}{y+16+14}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=80}\\{y=50}\end{array}\right.$，
∴p=0.4，q=0.25．補(bǔ)全頻率分布直方圖如右圖．
（2）①根據(jù)題意，網(wǎng)購金額在（1，2]內(nèi)的人數(shù)為$\frac{24}{24+16}$×5=3（人），記為a，b，c．
網(wǎng)購金額在（4，5]內(nèi)的人數(shù)為$\frac{16}{24+16}$×5=2（人），記為A，B．
則從這5人中隨機(jī)選取2人的選法為：（a，b），（a，c），（a，A），
（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）共10種．
記2人來自不同群體的事件為M，則M中含有（a，A），（a，B），
（b，A），（b，B），（c，A），（c，B）共6種．∴P（M）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
法二：根據(jù)題意，網(wǎng)購金額在（1，2]內(nèi)的人數(shù)為$\frac{24}{24+16}$×5=3（人），
網(wǎng)購金額在（4，5]內(nèi)的人數(shù)為$\frac{16}{24+16}$×5=2（人），
故所求的概率為$P=\frac{C_2^1C_3^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．
②ξ可能取值為0，1，2．
∵$P（{ξ=0}）=\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

∴ξ的數(shù)學(xué)期望$E（ξ）=0×\frac{1}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{3}{10}=\frac{6}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)就是的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都有必考題型之一．