Question

在經濟學中，函數f（x）的邊際函數Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某造船廠每年最多造船20艘，造船x臺（x∈N^*）的產值函數R（x）=3700x+45x²-10x³（單位：萬元），其成本函數C（x）=460x+500（單位：萬元），利潤是產值與成本之差．
（1）求利潤函數P（x）及邊際利潤函數MP（x）；
（2）該造船廠每年造船多少艘，可使年利潤最大？
（3）有人認為“當利潤P（x）最大時，邊際利潤MP（x）也最大”，這種說法對不對？說明理由．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）P（x）=R（x）-C（x），MP（x）=P（x+1）-P（x），由此能求出利潤函數P（x）及邊際利潤函數MP（x）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240，由此能求出造船廠每年造船12艘，可使年利潤最大．
（3）邊際利潤函數MP（x）=-30（x-1）²+3305，當x=1時，邊際利潤MP（x）最大．所以“當利潤P（x）最大時，邊際利潤MP（x）也最大”，這種說法不正確．

解答： 解：（1）由題意：P（x）=R（x）-C（x）
=-10x³+45x²+3240x-500，x≤20，x∈N^*．…（2分）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275，x≤20，x∈N^*．…（4分）
（缺少自變量范圍，酌情扣分）
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x+9）（x-12），…（6分）
當1≤x≤12時，P′（x）＞0，P（x）遞增；
當12＜x≤20時，P′（x）＜0，P（x）遞減．…（9分）
∴當x=12時，利潤P（x）最大．
即造船廠每年造船12艘，可使年利潤最大．…（11分）
（3）邊際利潤函數MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305，
∴MP（x）在[1，20]為減函數．…（14分）
∴當x=1時，邊際利潤MP（x）最大．…（15分）
∴“當利潤P（x）最大時，邊際利潤MP（x）也最大”，這種說法不正確．…（16分）

點評：本題考查利潤函數和邊際利潤函數的求法，考查造船廠每年造多小船可使年利潤最大的求法，考查“當利潤P（x）最大時，邊際利潤MP（x）也最大”這種說法是否正確的判斷，解題時要認真審題，注意導數性質的靈活運用．