Question

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（1）若f′（1）=3，求a的值及曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a=

3

2

，求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由原函數(shù)解析式求得f′（1），再由f′（1）=3列式求得a，分別代入原函數(shù)解析式和導(dǎo)函數(shù)解析式求得f（1）和f′（1），則切線方程可求；
（2）把a=

3

2

代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對區(qū)間[0，2]分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得極值，再求出區(qū)間端點(diǎn)值后通過比較大小得f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²（x-a）=x³-ax²．
∴f'（x）=3x²-2ax．
∵f'（1）=3-2a=3，∴a=0．
又當(dāng)a=0時(shí)，f（1）=1，f'（1）=3，
則切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），斜率為3，
∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-1=3（x-1）
化簡得3x-y-2=0；
（2）把a=

3

2

代入得，f(x)=x3-

3

2

x2，
f′（x）=3x²-3x=3x（x-1）．
令f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=1．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[0，2]上有極小值，也就是最小值為f（1）=-

1

2

．
又f（0）=0，f（2）=2．
∴f（x）在[0，2]上的最大值為2．
綜上所述，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為2．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，是中檔題．