Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義域在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）解不等式f（x-1）＜-f（x）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由奇函數(shù)性質(zhì)可得f（0）=0，及f(

1

2

)=

2

5

可得方程組，解出即可；
（2）利用導數(shù)可作出判斷證明；
（3）利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號“f”，轉化為具體不等式可解，注意定義域；

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

，
∴

a×0+b 1+02 =0 1 2 a+b 1+( 1 2 )2 = 2 5

，解得a=1，b=0．
∴f（x）=

x

1+x2

．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，證明如下：
由（1）知f（x）=

x

1+x2

（-1＜x＜1），
f'（x）=

(1+x2)-x•2x

(1+x2)2

=

1-x2

(1+x2)2

，
∵-1＜x＜1，∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．
（3）∵f（x）=

x

1+x2

在（-1，1）是增函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
∴-1＜x-1＜-x＜1，解得0＜x＜

1

2

．
∴f（x-1）＜-f（x）的解集為{x|0＜x＜

1

2

}．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應用，考查抽象不等式的求解，考查轉化思想，考查學生靈活運用所學知識分析解決問題的能力．