Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，橢圓的四個頂點所圍成菱形的面積為8

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓C上，且對角線AC，BD均過坐標原點O，若k_AC•k_BD=-

1

2

．
①求

OA

•

OB

的范圍；
②求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用離心率計算公式、菱形的面積計算公式、a²=b²+c²即可得出；
（2）（i）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、再利用斜率的計算公式、數(shù)量積運算即可得出；
（ii）利用弦長公式和點到直線的距離公式及三角形及其四邊形的面積公式即可得出．

解答： 解：（1）由已知可得：

c

a

=

2

2

，

1

2

•2a•2b=8

2

，c2+b2=a2，
于是c=2，b=2，a²=8，
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）當直線AB的斜率不存在時，

OA

•

OB

=2，∴

OA

•

OB

的最大值為2．
當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=8

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）
=8（8k²-m²+4）＞0，
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

．
∵koA•koB=kAC•kBD=-

1

2

，∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
∴y1y2=-

1

2

x1x2=-

2m2-8

1+2k2

=-

m2-4

1+2k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2•

2m2-8

1+2k2

+km•

-4km

1+2k2

+m2=

m2-8k2

1+2k2

，
∴-

m2-4

1+2k2

=

m2-8k2

1+2k2

，∴4k²+2=m²，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

2m2-8

1+2k2

-

m2-4

1+2k2

=

m2-4

1+2k2

=

4k2+2-4

1+2k2

=2-

4

1+2k2

，
∴-2≤

OA

•

OB

＜2，
因此，綜上可得：

OA

•

OB

∈[-2，2]．
②設(shè)原點到直線AB的距離為d，則d=

|m|

1+k2

．
則S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

1+k2

|x2-x1|•

|m|

1+k2

=

|m|

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

|m|

2

( -4km 1+2k2 )2-4× 2m2-8 1+2k2

=2

4k2-m2+4

，
又∵4k²-m²=-2，
∴S_△AOB=2

2

．
∴S_{四邊形ABCD}=4S_△AOB=8

2

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率的計算公式、數(shù)量積運算、弦長公式和點到直線的距離公式及三角形四邊形的面積公式、菱形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．