Question

已知a為正實數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=-x2+

an

2

與x軸正半軸相交于點A．設f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距．
（1）用a和n，表示f（n）；
（2）求對所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的a的最小值；
（3）當0＜a＜1時，比較

n

i=1

1

f(k)-f(2k)

與

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）先求切線方程，再令x=0，即可得到結論；
（2）由（1）知f（n）=aⁿ，則

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的充要條件是aⁿ≥2n³+1，即知，aⁿ≥2n³+1對所有n成立，特別的，取n=2得到a≥

17

，從而可得結論；
（3）首先證明：當0＜x＜1時，

1

x-x2

≥

27

4

x，在比較大小即可．

解答： 解：（1）∵拋物線y=-x2+

an

2

與x軸正半軸相交于點A，
∴A(

an 2

，0)
y=-x2+

an

2

求導，可得y′=-2x
∴拋物線在點A處的切線方程為y=-

2an

（x-

an 2

），即y=-

2an

x+aⁿ
∵f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距，
∴f（n）=aⁿ；
（2）由（1）知f（n）=aⁿ，則

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的充要條件是aⁿ≥2n³+1
即知，aⁿ≥2n³+1對所有n成立，特別的，取n=2得到a≥

17

當a=

17

，n≥3時，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ≥1+3

C

1 n

+9

C

2 n

+27

C

3 n

=1+2n³+

1

2

n[5（n-2）²+（2n-5）]＞2n³+1
當n=0，1，2時，（

17

）ⁿ≥2n³+1
∴a=

17

時，對所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立
∴a的最小值為

17

；
（3）由（1）知f（k）=a^k，下面證明：

n

i=1

1

f(k)-f(2k)

＞

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

．
首先證明：當0＜x＜1時，

1

x-x2

≥

27

4

x
設函數(shù)g（x）=

27

4

x（x²-x）+1，0＜x＜1，則g′（x）=

81

4

x（x-

2

3

）
當0＜x＜

2

3

時，g′（x）＜0；當

2

3

＜x＜1時，g′（x）＞0
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的最小值g（x）_min=g（

2

3

）=0
∴當0＜x＜1時，g（x）≥0，∴

1

x-x2

≥

27

4

x
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此

1

ak-a2k

≥

27

4

ak，
從而

n

i=1

1

f(k)-f(2k)

=

1

a-a2

+

1

a2-a4

+…+

1

an-a2n

≥

27

4

n

k=1

ak=

27

4

×

a-an+1

1-a

＞

27

4

×

a-an

1-a

=

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，考查不等式的證明，考查導數(shù)的幾何意義，綜合性強，屬于中檔題．