Question

（本題滿分16分）本題共有3個小題，第一小題3分，第二小題7分，第三小題6分

如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點，

（1）若，求曲線的方程；

（2）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點A、B，求證：弦AB的中點M必在曲線的另一條漸近線上；

（3）對于（1）中的曲線，若直線過點交曲線于點C、D，求面積的最大值。

Answer 1

（1）和；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）寫出漸近線的方程與直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用中點坐標公式寫出中點坐標，再驗證中點在另外一條漸近線上；（3）寫出直線方程，與曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式和點到直線的距離公式求弦長與高，求三角形的面積的不等式，再利用基本不等式求其最值.

試題解析：（1） 2分

則曲線的方程為和。 3分

（2）曲線的漸近線為 4分

如圖，設直線 5分

則 6分

又由數(shù)形結合知， 7分

設點，

則， 8分

， 9分

，即點M在直線上。 10分

（3）由（1）知，曲線，點

設直線的方程為

10分

11分

設

由韋達定理： 12分

令，，

14分

，，當且僅當即時等號成立 15分

時， 16分

考點：1.圓錐曲線；2.直線與圓錐曲線的位置關系；3.基本不等式.