Question

已知

a

=（2sin

x

2

，1），

b

=（cos

x

2

-

3

sin

x

2

，1），f（x）=

a

•

b

+m．
（1）求f（x）在[0，2π]上的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈[0，2π]時，f（x）的最小值為2，求f（x）≥2成立的x的取值集合；
（3）若存在實數(shù)a，b，c，使得a[f（x）-m]+b[f（x-c）-m]=1，對任意x∈R恒成立，求

b

acosC

的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)恒成立問題,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）通過向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求f（x）在[0，2π]上的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，求得sin（x+

π

3

）min=

1

2

，可得f（x）_min=2+m=2，由此求得m的值．再由f（x）≥2，可得2sin（x+

π

3

）+1≥2sin（x+

π

3

）≥

1

2

，2kπ+

π

6

≤x+

π

3

≤2kπ+

5π

6

，由此求得x的集合．
（3）由題意可得對任意x∈R，（2a+2bcosc）sin（x+

π

3

）-2bsinccos（x+

π

3

）+b+a-1=0 恒成立，故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．由此求得

b

acosC

的值

解答： 解：（1）

a

=（2sin

x

2

，1），

b

=（cos

x

2

-

3

sin

x

2

，1），
∴f（x）=

a

•

b

+m=sinx-2

3

sin2

x

2

+1+m
=sinx+

3

cosx+1-

3

+m
=2sin（x+

π

3

）+1-

3

+m
由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈Z，
f（x）在[0，2π]上的單調(diào)增區(qū)間：[0，

π

6

]，[

7π

6

，2π]．
f（x）在[0，2π]上的單減調(diào)區(qū)間：[

7

6

，

7π

6

]；
（2）由于x∈[0，

π

2

]，x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，故sin（x+

π

3

）min=

1

2

，所以f（x）_min=2+m=2，∴m=0．所以，f（x）=2sin（x+

π

3

）+1，由f（x）≥2，可得2sin（x+

π

3

）+1≥2sin（x+

π

3

）≥

1

2

，2kπ+

π

6

≤x+

π

3

≤2kπ+

5π

6

，
∴{x|2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

π

2

 k∈z}．
（3）∵a[f（x）-m]+b[f（x-C）-m]=a[2sin（x+

π

3

）+1]+b[2sin（x+

π

3

-C）+1]
=2asin（x+

π

3

）+a+2bsin（x+

π

3

）cosC-2bsinCcos（x+

π

3

）+b，
對任意x∈R，（2a+2bcosc）sin（x+

π

3

）-2bsinccos（x+

π

3

）+b+a-1=0 恒成立，
故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．
經(jīng)討論只能有 sinC=0，cosC=-1，a=b=

1

2

，所以，

b

a

cosC=-1．

點評：本題主要考查復合三角函數(shù)的單調(diào)性，兩個向量的數(shù)量積的運算，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．