19.設(shè)O為△ABC的外心,且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{3}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$,則△ABC的內(nèi)角C=( 。
A.$\frac{π}{6}$B.$\frac{π}{4}$C.$\frac{π}{3}$D.$\frac{π}{2}$

分析 設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R,由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{3}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$,化為$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}\overrightarrow{OC}$,兩邊作數(shù)量積運算可得:$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})^{2}$=$3{\overrightarrow{OC}}^{2}$,化簡即可得出.

解答 解:設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R,
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{3}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$,化為$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}\overrightarrow{OC}$,
兩邊作數(shù)量積運算可得:$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})^{2}$=$3{\overrightarrow{OC}}^{2}$,
化為2R2+2R2cos∠AOB=3R2
化為cos∠AOB=$\frac{1}{2}$,∠AOB∈(0,π),
可得∠AOB=$\frac{π}{3}$,
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{π}{6}$,
故選:A.

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、圓心角與圓周角直角的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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9.已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),當(dāng)x>1時f(x)>0,且f(xy)=f(x)+f(y)
(1)求證:$f({\frac{1}{x}})=-f(x)$
(2)證明:f(x)在定義域上是增函數(shù)
(3)如果$f({\frac{1}{3}})=-1$,求滿足不等式$f(x)-f({\frac{1}{x-2}})≥2$的x的取值范圍.

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①若|F2M|<|F2N|,則∠MF2N為銳角
②若|F2M|<|F2N|,則∠MF2N為鈍角
③若|F2M|<|F1N|,則∠MF2N為銳角
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14.計算:
(1)${log_{2.5}}6.25+lg\frac{1}{100}+ln(e\sqrt{e})+{log_2}({log_2}16)$;
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(2)比較當(dāng)∠A=60°、∠A=45°時,兩個旋轉(zhuǎn)體表面積的大。

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