Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=2sinxcosx-2

3

cos2x，下列結(jié)論中不正確的是（　�。�

• A、f（x）在區(qū)間(0，

  π

  4

  )上單調(diào)遞增
• B、f（x）的一個對稱中心為(

  π

  6

  ，-

  3

  )
• C、f（x）的最小正周期為π
• D、當(dāng)x∈[0，

  π

  2

  ]時，f（x）的值域為[-2

  3

  ，0]

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可化簡得f（x）=2sin（2x-

π

3

）-

3

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性與定義域、值域?qū)�A、B、C、D四個選項逐一判斷即可．

解答： 解：∵f（x）=sin2x-

3

（1+cos2x）=sin2x-

3

cos2x-

3

=2（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）-

3

=2sin（2x-

π

3

）-

3

，
對于A，由-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

2

得：-

π

12

≤x≤

5π

12

，
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）-

3

在區(qū)間[-

π

12

，

5π

12

]上單調(diào)遞增，而（0，

π

4

）?[-

π

12

，

5π

12

]，
∴f（x）在區(qū)間（0，

π

4

）上單調(diào)遞增，即A正確；
對于B，∵f（

π

6

）=2sin（2×

π

6

-

π

3

）-

3

=-

3

，
∴f（x）的一個對稱中心為（

π

6

，-

3

）正確；
對于C，∵f（x）=2sin（2x-

π

3

）-

3

的周期T=

2π

2

=π，故C正確；
對于D，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，2sin（2x-

π

3

）∈[-

3

，2]，
∴f（x）的值域為[-2

3

，2-

3

]，故D錯誤．
綜上所述，四選項中，只有D選項錯誤．
故選：D．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性與值域，考查分析轉(zhuǎn)化與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．