Question

（本題滿分14分）

（Ⅰ）求直線：與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的內(nèi)切圓的方程；

（Ⅱ）若與（Ⅰ）中的圓相切的直線交軸軸于和兩點(diǎn),且.

①求證：圓與直線相切的條件為；

②求OAB面積的最小值及此時(shí)直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）①見解析；② ；l：

【解析】

試題分析：【解析】
（Ⅰ）直線m：3x+4y=12與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為A（4，0），B（0，3）．

則△AOB是直角三角形

∵圓心到坐標(biāo)的距離相等

∴可設(shè)圓心C（a，a），半徑為a，（0＜a＜3）

∴圓心到AB的距離為

解得：a=1

∴圓的方程為 ．

（Ⅱ）①證明：∵直線l交x軸y軸于A（a，0）和B（0，b）兩點(diǎn)

∴直線l的方程為 ，

即bx+ay-ab=0

∵直線l與圓C相切，

∴

即ab-2a-2b+2=0

（a-2）（b-2）=2

②由①可知ab=2a+2b-2

∴S==a+b-1≥-1

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取“=“

即S-2+1≥0

解得

∴，

∴直線l的方程為x+y-2

考點(diǎn)：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是表示出三角形面積后，利用基本不等式和一元二次不等式的性質(zhì)解決