Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=2，AC=BC=

10

，PA=PB，二面角P-AB-C的大小為45°，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)
（1）求證：BC∥平面PDE；
（2）求直線BE與平面PAB所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）由D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，得到在△ABC中，DE是中位線，由此能夠證明BC∥平面PDE．
（2）連結(jié)CD，交BE于O，過O作OF⊥PD，交PD于F，由已知條件推導(dǎo)出∠PDC是二面角P-AB-C的平面角，由此能求出直線BE與平面PAB所成角的大�。�

解答： （1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴在△ABC中，DE是中位線，
∴DE∥BC，
∵DE?平面PDE，BC不包含于平面PDE，
∴BC∥平面PDE．
（2）解：如圖，連結(jié)CD，交BE于O，過O作OF⊥PD，交PD于F，
∵AB=2，AC=BC=

10

，PA=PB，二面角P-AB-C的大小為45°，
D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴PD⊥AB，CD⊥AB，
∴∠PDC是二面角P-AB-C的平面角，∴∠FDO=45°，
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD，
∵OF?平面PCD，∴OF⊥AB，
又∵OF⊥PD，PD∩AB=D，∴OF⊥平面PAB，
∴∠OBF是直線BF與平面PAB所成角的平面角．
∵CD=

( 10 )2-( 2 2 )2

=3，∴OD=

1

3

CD=1，
∴DF=OF=1•sin45°=

2

2

，BF=

DF2+BD2

=

1 2 +1

=

6

2

，
∴sin∠OBF=

OF

BF

=

2 2

6 2

=

3

3

，
∴∠OBF=arcsin

3

3

．
∴直線BE與平面PAB所成角的大小是arcsin

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．